변환(Transformation)

저번 "행렬과 연산" 포스팅에 이은 행렬을 이용한 변환? 변형? (아 뭐라고 해야 할지는 모르겠네요 ;_;) 기법에 대해서 알아 보려고 합니다.
   
이 포스팅을 하는 목표가 게임엔진 제작을 위한 3D 그래픽에 관련된 부분이라 한 가지 집고 넘어가야 하는 부분이 있습니다. 왜 하필 "행렬"을 이용 할까? 입니다. 알고 싶으신 분들만 보도록 하세요 :-D
   

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컴퓨터에서 보이는 모든 것들에는 "곡선" 이라는게 없습니다. 곡선 처럼 보이는 건 있어도... 이것은 컴퓨터가 처리하는 행동자체 때문이기도 한데, 이 내용을 더욱 심도 있게 공부하시고 싶으신 분은 찾아보세요 :-D, 이 때문에 직선에 대한 처리를 해야 합니다. 
   
직선을 만드는 최소한의 조건은 무엇 일까요? 두 개의 점(point) 입니다. 서로 다른 두 점을 잇게 되면 직선이 나오는데 이것을 이용해서 컴퓨터는 그래픽을 보여주게 됩니다.
   
그럼 3D 그래픽에서 점이 한 두 개만 필요 할까요? 어마어마하게 많은 점들이 필요 하게 됩니다. 하지만 어디까지는 그것은 한 컷(scene, 또는 frame)을 위해 필요 한 것이고, 또한 특별한 일이 있지 않는 이상 기존에 내가 컴퓨터에게 알려주었던 점들을 그냥 이용 하겠죠. 다른 컷으로 이동하기 위해서 기존에 있던 점들의 정보를 지우고 새로운 정보를 입력하는 것 만큼 비효율 적인 일도 없을 테니까요.

   

그냥 2차원에서 예를 들어 볼게요.

 
   
(좌표 축은 이해를 돕기 위한 것이고, 실제로 빨강색 사각형만 표현한다고 예시를 든 것 입니다.)컴퓨터 한테 첫번째 frame을 표현할 4개의 점을 알려줬습니다. 두 번째 frame에서 표현할 4개의 점이 첫 번째 frame에서 어떻게 변했는지 보이나요? 네 x축으로 1만큼씩 이동했죠.
   
그럼 우리는 저 "4개의 새로운 점의 정보"를 알려주는 것과, "각 점에서 x좌표에 1을 더해라"를 알려주는 것 중 어떤게 더 효율적일 까요? 당연히 후자죠. 이렇게 간단한 예에서도 후자가 쉬운데, 수십 수만개의 점에 대해서는 어떨까요?

     
자 그럼 다시 행렬을 보도록 하죠. 아래는 행렬의 일반적인 표현 방법 입니다.

   
우리는 여기서 알고 싶은 것이 x벡터 이죠. 그런데, 풀이 과정 및 바꿔 생각해 보자면 아래와 같은 형태로 생각할 수 있지 않을 까요?

   
위 식을 보게 되면, 잘 만들어진 행렬 하나(위에서는 A의 역행렬)를 정해진 벡터에 곱하게 되면 x를 구할 수 있더라. 위의 Ax=b의 식에서 우리는 이미 점들의 정보, 즉, x에 들어갈 내용을 알고 있습니다. 그리고 잘 만들어진 A를 이용해서 다음 프레임에서 만들어질 b가 뭔지 알고 싶은 것인거죠.
   
앞으로의 주 설명에서 이어지겠지만 3D 오브젝트의 변형은 이동, 확대/축소(scaling), 회전 이 있습니다. 행렬말고 그냥 다항식으로 이 내용들을 처리하게 만들어도 처리는 할 수 있습니다. 하지만 각각마다 적용하는 방법이 다르기 때문에 이를 하드웨어적으로 만든다면 더 많은 돈이 들어가며, 프로그램에서 만든다면 더 많은 노력과 시간이 들어 갈 겁니다.(ㅠㅠ)
   
그래서 행렬을 사용하는 거에요! 한 번에 처리가 가능하고, 다음 frame에 필요한 결과를 찍어 내는 거거든요. 그래픽카드라는 것도 그러한 행렬연산을 하기 위해 디자인 되어 있는 것 이구요.
   
한 번에 처리가 가능하다 함은 아래와 같은 두 가지 예를 보시면 될 거 같아요.

 
   
일단 왜 "행렬"을 쓰는 가에 대해서 정말 간단하게 설명하려고 했는데 잘 이해가 갔는지 모르겠네요. 사실 어마어마하게 많은 이론을 바탕으로 설명을 해야 하지만, 시간과 제 지식이 부족하기 때문에 미흡한 부분이 있지만 어려움이 없길 바랄게요:-D
   
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3D 오브젝트는 여러 개의 점(여기서의 표현은 벡터)로 이루어 져있습니다. 그러한 점들을 변형 하는 방법은 아래의 세가지 입니다.
   

• Translation(이동)
• Rotation(회전)
• Scaling(확대/축소)

   
각각에 대한 행렬을 잘 만들어서 벡터에 곱하게 되면, 그 결과값이 나오는 거지요. 그리고 3차원이라서 3x3짜리 행렬을 사용 하는 것이라 아니라 4x4짜리 행렬을 사용하게 된답니다. 자세한 내용은 생략 하도록 할게요 :-D 프로그래밍 분류에서 설명 했다 시피 "Point"와 "Vector"는 서로 다른 의미 이기 때문에 프로그램 상에서는 이를 분류하기 위해 하나의 변수를 더 사용해서 3x1이 아닌 4x1짜리 벡터를 사용하게 되는데 아래와 같이 사용됩니다.

    
위에서 빨강색으로 표현된 값을 homogeneous value라고 하는데, 저도 정확한 의미는 가물가물 :-D

• Translation(이동)
  이동을 시켜주는 행렬은 아래와 같습니다. 입력 벡터의 각항에 대한 변화량을 더해주는 결과를 얻을 수 있습니다.
  
   
     
  여기에 입력된 벡터가 아래와 같다고 하면,
  
  
     
  행렬과 벡터를 곱한 결과는 아래와 같습니다.
  
   
  
  다항식으로 표현 하면 아래와 같겠죠?
  
   
     
  
• Rotation(회전)
  3차원에서 기본적인 축이 세 개가 있습니다. x, y, z축. 그 각각의 축에 대한 회전행렬을 먼저 살펴 볼게요.
  
  • x축 회전 행렬 

    

       
    
  • y축 회전 행렬 

    

       
    
  • z축 회전 행렬 

    

     
  예시로 벡터p를 z축에 의해서 회전 시켜 볼게요. 벡터 p가 아래와 같으면,
  
  
     
  계산은 아래와 같이 되겠죠.
  
   
     
  결과를 보시면 의미를 알 수 있을 거에요. z값은 아무런 변화가 없이 전에 있던 값이 나오잖아요? 그림에서 그려보면 z축을 기준으로 회전 시키는 것이니까, 아무리 회전해도 z축의 값은 변하지 않고 x,y의 값만 z축을 기준으로 뱅뱅 도는 거죠 :-D
  
   
     
  그럼 실제 사용함에 있어서 기본축(x, y, z)만 기준으로 회전하게 될까요? 아니죠~ 임의의 축에 대한 회전도 이루어 질 수도 있는 것이죠. 각각의 축에 대해서 회전을 모두 시키게 되면 임의의 축에 대한 회전이 되는 것이고, 그걸 행렬로 만드는 방법은 그냥 싸그리 곱해주면 되는 거죠 :-D
  
   
     
  그런데, 위에서 얘기한 것들은 각 축에 대한 회전각에 대해서 회전한 겁니다. 고로, "축"이 주어가 아니라 그 "축을 중심으로 한 각도"가 주어가 되는 것이죠. 그렇게 해서 각 축에 대한 회전각을 x가 β, y가 γ, z가 α만큼 회전시키는 행렬은 아래와 같습니다.
  
   
     
  그럼 임의의 축에 대한 회전은 어떻게 계산해야 하는가..?!
     
  간단해 지죠. 임의의 축이 x, y, z각축에 대해서 몇 도씩 회전되었는지 알 수 있을 테고, 그것은 곧장 저 행렬에 대입하면 나올 테니까요. :-D 몇도 회전 되었는지 어떻게 아냐구요? 바로 저번 행렬 포스팅에서 내적을 이용 하면 됩니다요.
     
  회전 행렬까지는 돌려보진 않았지만, 두 개의 임의의 벡터간에 각도를 구하는 프로그램을 구현해 보았습니다. => 임의의 벡터간 각도 구하기
     
  
• Scaling(확대/축소)
  확대/축소는 간단합니다. 각 축을 몇 배 해라. 라는 내용만 넣으면 되니까요. 그 행렬은 아래와 같습니다.
  
   
     
  벡터 p가 아래와 같을 때, 연산한 결과 입니다.  
  
  
     
  이를 다항식으로 표기하면 아래와 같겠죠.  
  
  
     
  

참조 : OPENGL GAME PROGRAMMING(Foreword by Mark J.Kilgard)